Математика6 класс

Прямая и обратная пропорциональные зависимости

Когда величины прямо пропорциональны, а когда — обратно: признаки, примеры и способ решения задач с объяснением.

Два вида зависимости

Когда две величины связаны между собой, они меняются вместе. Иногда обе растут, иногда одна растёт — другая уменьшается. В зависимости от этого зависимость называют прямой или обратной.

Прямая пропорциональность

Определение

Прямая пропорциональная зависимость

Если одна величина увеличивается в несколько раз, то другая увеличивается во столько же раз — это прямая зависимость. Их отношение постоянно: $\dfrac{y}{x} = k$ (одно и то же число).

Правило

Признак прямой зависимости

Величины прямо пропорциональны, если $\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{y_2}{x_2}$. Пример: 3 тетради стоят 60 руб, 6 тетрадей — 120 руб. $\dfrac{60}{3} = \dfrac{120}{6} = 20$ — отношение постоянно.

Разбор примера

Пример: прямая зависимость

3 тетради стоят 60 рублей. Сколько стоят 6 тетрадей?

Ключевой шаг Стоимость растёт пропорционально количеству — зависимость прямая.
Составляем пропорцию: $\dfrac{60}{3} = \dfrac{x}{6}$.
$x = \dfrac{60 \cdot 6}{3} = \dfrac{360}{3} = 120$ рублей.

Ответ 120 рублей

Обратная пропорциональность

Определение

Обратная пропорциональная зависимость

Если одна величина увеличивается в несколько раз, то другая уменьшается во столько же раз — это обратная зависимость. Их произведение постоянно: $x \cdot y = k$ (одно и то же число).

Правило

Признак обратной зависимости

Величины обратно пропорциональны, если $x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2$. Пример: 2 рабочих сделают работу за 6 часов, 4 рабочих — за 3 часа. $2 \cdot 6 = 4 \cdot 3 = 12$ — произведение постоянно.

Разбор примера

Пример: обратная зависимость

2 рабочих выполняют задание за 6 часов. За сколько часов выполнят то же задание 4 рабочих?

Ключевой шаг Чем больше рабочих, тем меньше времени — зависимость обратная.
Произведение постоянно: $2 \cdot 6 = 4 \cdot x$.
$4x = 12 \Rightarrow x = 3$ часа.

Ответ 3 часа

Сравнение

Прямая и обратная зависимость — в чём разница

	Прямая	Обратная
Как меняются	Обе растут или обе уменьшаются	Одна растёт — другая уменьшается
Постоянная величина	Отношение y/x = const	Произведение x·y = const
Пример	Цена товара и количество	Скорость и время в пути

Частая ошибка

Не путай вид зависимости. Спроси себя: «Если одного стало больше — другого стало больше или меньше?» Больше → прямая. Меньше → обратная.

Проверь себя

Упражнения

Вид зависимости лёгкое

Чем больше скорость автомобиля, тем меньше времени уходит на дорогу. Какая это зависимость?

Прямая или обратная? лёгкое

Чем больше купили тетрадей по одной цене, тем больше заплатили. Какая это зависимость?

Задача: прямая зависимость лёгкое

3 тетради стоят 60 рублей. Сколько рублей стоят 5 таких же тетрадей?

Задача: обратная зависимость лёгкое

Автомобиль едет со скоростью 60 км/ч и прибывает через 4 часа. За сколько часов он доедет, если скорость будет 80 км/ч?

Что постоянно при прямой зависимости? среднее

При прямой пропорциональной зависимости постоянным остаётся … двух величин.

Обратная: другое число среднее

5 кранов наполняют бассейн за 12 часов. За сколько часов наполнят тот же бассейн 3 крана?

Составить уравнение среднее

Чтобы решить задачу на обратную пропорциональность «$x_1 = 6$, $y_1 = 4$, найти $y_2$ при $x_2 = 8$», какое равенство составим?

Рабочие и время сложное

6 человек покрасят забор за 8 дней. За сколько дней покрасят тот же забор 4 человека?