Математика6 класс

Наименьшее общее кратное (НОК)

Что такое НОК, как его находить через разложение на простые множители и зачем он нужен — с примерами и задачей на совпадение событий.

⬇️ Скачать PDF

Что такое НОК

НОК двух чисел — это наименьшее число, которое делится на оба числа нацело. Его используют при сложении дробей с разными знаменателями и в задачах на совпадение событий.

Определение

Наименьшее общее кратное

НОК$(a,\, b)$ — наименьшее натуральное число, которое кратно и $a$, и $b$. Например, кратные 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, … Кратные 6: 6, 12, 18, 24, … Общие: 12, 24, … Наименьшее из них — НОК$(4,\,6)=12$.

Как найти НОК через разложение

Правило

Метод разложения на простые множители

1. Разложить каждое число на простые множители. 2. Взять все простые множители, которые встретились, в наибольшей степени. 3. Перемножить их — получится НОК.

Разбор примера

Разбор: НОК(12, 18)

Найдите НОК чисел 12 и 18.

Ключевой шаг Раскладываем: $12 = 2^2 \cdot 3$, $\quad 18 = 2 \cdot 3^2$.
Берём каждый множитель в наибольшей степени: $2^2$ и $3^2$.
Перемножаем: $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Ответ НОК$(12,\,18) = 36$

Примеры НОК

Числа	Разложения	НОК
4 и 6	4 = 2², 6 = 2 · 3	12
12 и 18	12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3²	36
5 и 7	оба простые	35
8 и 12	8 = 2³, 12 = 2² · 3	24
6 и 9	6 = 2 · 3, 9 = 3²	18

Полезная связь: НОД × НОК = произведение чисел

Запомни

НОД и НОК связаны

Для любых двух натуральных чисел $a$ и $b$: $\text{НОД}(a,\,b) \cdot \text{НОК}(a,\,b) = a \cdot b$. Например, для 12 и 18: НОД = 6, НОК = 36, и $6 \cdot 36 = 216 = 12 \cdot 18$. Эта связь удобна, когда НОД уже найден: НОК$ = \frac{a \cdot b}{\text{НОД}(a,\,b)}$.

Задача на совпадение

Разбор примера

Жизненный пример: когда события совпадут снова?

Автобус маршрута А отправляется каждые 12 минут, маршрута Б — каждые 18 минут. В 9:00 они отправились вместе. Через сколько минут они снова отправятся одновременно?

Ключевой шаг Нужно найти НОК$(12,\,18)$.
НОК$(12,\,18) = 2^2 \cdot 3^2 = 36$.
Значит, через 36 минут — в 9:36 — автобусы снова отправятся вместе.

Ответ через 36 минут

Проверь себя

Упражнения

Что такое НОК лёгкое

Как называется наименьшее число, которое делится на два данных числа нацело?

НОК маленьких чисел лёгкое

Найдите НОК$(4,\,6)$. Кратные 4: 4, 8, 12, 16, … Кратные 6: 6, 12, 18, …

Разложение на множители лёгкое

Найдите НОК$(12,\,18)$ через разложение на множители.

Взаимно простые числа лёгкое

Чему равно НОК$(5,\,7)$?

НОК через разложение среднее

Найдите НОК$(8,\,12)$.

НОК через НОД среднее

НОД$(6,\,9)=3$. Найдите НОК$(6,\,9)$, используя формулу НОД$\times$НОК$=a\cdot b$.

Задача на совпадение среднее

Петя делает зарядку каждые 3 дня, а Вася — каждые 4 дня. Сегодня они оба сделали зарядку. Через сколько дней они снова совпадут?

Транспортная задача сложное

Автобус отправляется каждые 12 минут, трамвай — каждые 20 минут. В 8:00 они отправились вместе. В какое время они снова отправятся одновременно?