Математика6 класс

Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа

Как найти наибольший общий делитель двух чисел через разложение на множители и что такое взаимно простые числа.

Что такое НОД

Иногда нужно найти самое большое число, на которое делятся сразу два числа. Это и есть наибольший общий делитель, сокращённо — НОД.

Определение

Наибольший общий делитель (НОД)

НОД двух чисел — наибольшее число, на которое делятся оба числа без остатка. Обозначают: $\text{НОД}(a,\, b)$. Например: $\text{НОД}(12,\, 18) = 6$.

Как найти НОД через разложение

Правило

Способ: разложи и перемножь общие

1. Разложи оба числа на простые множители. 2. Выпиши множители, которые есть у ОБОИХ чисел (с наименьшими показателями степеней). 3. Перемножь их — это и есть НОД.

Пример: найдём НОД(12, 18)

Число	Разложение	Общие множители
12	$2^2 \cdot 3$	$2^1 \cdot 3^1$
18	$2 \cdot 3^2$	(берём меньшую степень)
НОД	$2 \cdot 3 = 6$	✓

Разбор примера

Найдём НОД(24, 36)

Даны числа 24 и 36. Найдём их наибольший общий делитель.

Ключевой шаг Разложим оба числа: $24 = 2^3 \cdot 3$, $\quad 36 = 2^2 \cdot 3^2$.
Общий множитель $2$: берём меньшую степень $2^2 = 4$.
Общий множитель $3$: берём меньшую степень $3^1 = 3$.
Ключевой шаг $\text{НОД}(24,\, 36) = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$.

Ответ $\text{НОД}(24,\, 36) = 12$

Взаимно простые числа

Определение

Взаимно простые числа

Два числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1. Например: $\text{НОД}(8,\, 15) = 1$, значит 8 и 15 — взаимно простые.

Запомни

Полезное свойство

У взаимно простых чисел нет общих простых множителей. Это удобно: при сокращении дробей числитель и знаменатель, взаимно простые, — уже в несократимом виде.

Частая ошибка

Общие множители берут с НАИМЕНЬШИМИ степенями, а не с наибольшими. В примере выше $2$ входит в 24 три раза, а в 36 — два раза: берём $2^2$, а не $2^3$!

Проверь себя

Упражнения

Знаю термин лёгкое

Как расшифровывается сокращение НОД?

НОД(6, 9) лёгкое

Найди $\text{НОД}(6,\, 9)$.

НОД(12, 18) лёгкое

Чему равен $\text{НОД}(12,\, 18)$?

Взаимно простые среднее

Какая пара чисел является взаимно простой?

НОД(20, 30) среднее

Найди $\text{НОД}(20,\, 30)$.

НОД взаимно простых лёгкое

Если два числа взаимно простые, чему равен их НОД?

НОД(36, 48) среднее

Найди $\text{НОД}(36,\, 48)$.

НОД(14, 21) сложное

Разложи числа $14$ и $21$ и найди их НОД.