Математика6 класс

Свойства действий с рациональными числами

Переместительное, сочетательное, распределительное свойства работают и для отрицательных чисел. Умелая группировка делает вычисления быстрее.

⬇️ Скачать PDF

Свойства сложения

Все свойства сложения и умножения, которые ты знаешь для натуральных чисел, работают и для отрицательных. Это делает вычисления гораздо удобнее.

Определение

Переместительное свойство

При сложении и умножении можно менять слагаемые (множители) местами: $a+b=b+a$, $\;ab=ba$. Например: $(-7)+3=3+(-7)=-4$.

Правило

Сочетательное свойство

Слагаемые (или множители) можно группировать как удобно: $(a+b)+c=a+(b+c)$, $\;(ab)c=a(bc)$. Например: $(-17+7)+(-3)=(-17-3)+7=-20+7=-13$.

Правило

Распределительное свойство

$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ — раскрывает скобки. Работает в обе стороны: можно раскрыть и можно вынести за скобку. Пример: $(-2)\cdot(5+3)=(-2)\cdot5+(-2)\cdot3=-10+(-6)=-16$.

Особые случаи

Особые свойства

Правило	Запись	Пример
Ноль при сложении	$a+0=a$	$-5+0=-5$
Единица при умножении	$a\cdot1=a$	$-7\cdot1=-7$
Ноль при умножении	$a\cdot0=0$	$-100\cdot0=0$
Умножение на −1	$a\cdot(-1)=-a$	$6\cdot(-1)=-6$

Удобная группировка

Важно

Зачем это нужно

Свойства помогают считать в уме. Ищи числа, у которых сумма кратна 10, или числа, которые взаимно сокращаются. Пример: $-17+25+(-3)=(-17-3)+25=-20+25=5$ — сгруппировали $-17$ и $-3$.

Разбор

Разбор примера

Удобное сложение

Вычислите удобным способом: $38+(-53)+(-38)$.

Ключевой шаг Замечаем: $38$ и $(-38)$ — противоположные числа, их сумма $0$.
Группируем: $(38+(-38))+(-53)=0+(-53)$.
Ответ: $-53$.

Ответ -53

Разбор примера

Распределительное свойство

Вычислите: $(-4)\cdot(7+(-2))$.

Ключевой шаг Раскрываем скобку: $(-4)\cdot7+(-4)\cdot(-2)$.
Считаем каждое слагаемое: $-28+8$.
Ответ: $-20$.

Ответ -20

Запомни

Проверка через скобку

Можно сразу посчитать выражение в скобках: $7+(-2)=5$, затем $(-4)\cdot5=-20$ — тот же ответ. Оба способа верны: выбирай удобный.

Проверь себя

Упражнения

лёгкое

Как называется свойство, по которому $a+b=b+a$?

Умножение на 1 лёгкое

Вычислите: $(-9)\cdot1$.

Умножение на 0 лёгкое

Вычислите: $(-15)\cdot0$.

Удобная группировка среднее

Вычислите удобным способом: $-17+25+(-3)$.

Умножение на −1 среднее

Чему равно $8\cdot(-1)$?

Распределительное свойство среднее

Раскройте скобки и вычислите: $(-3)\cdot(10+(-4))$.

Удобная группировка (сложнее) сложное

Вычислите удобным способом: $47+(-23)+(-47)+3$.