Математика6 класс

Длина окружности и площадь круга. Шар

Что такое радиус и диаметр, как найти длину окружности и площадь круга по формулам с числом $\pi$, чем шар отличается от круга — всё в одной шпаргалке.

⬇️ Скачать PDF

Окружность и круг

Окружность — это замкнутая линия, все точки которой на одинаковом расстоянии от центра. Круг — это «заполненная» окружность вместе со всем её внутренним пространством.

Определение

Радиус и диаметр

$r$ — радиус: расстояние от центра до любой точки окружности. $d$ — диаметр: расстояние через центр. Всегда $d = 2r$, или $r = \frac{d}{2}$.

Так выглядит круг. Радиус $r$ — от центра до края, диаметр $d$ — через весь круг, $d = 2r$.

Длина окружности

Правило

Формула длины окружности

$C = 2\pi r = \pi d$, где $\pi \approx 3{,}14$. Длина — это «периметр» окружности: сколько метров нитки уйдёт, чтобы обтянуть её ровно один раз.

Длина окружности при разных радиусах ($\pi \approx 3{,}14$)

Радиус $r$	Формула	Длина $C$
3	$2 \cdot 3{,}14 \cdot 3$	18,84
5	$2 \cdot 3{,}14 \cdot 5$	31,4
10	$2 \cdot 3{,}14 \cdot 10$	62,8

Площадь круга

Правило

Формула площади круга

$S = \pi r^2$, где $\pi \approx 3{,}14$. Это количество «клеточек», которое умещается внутри круга.

Важно

Важно не перепутать

Длина $C$ считает ЛИНИЮ (окружность), площадь $S$ считает ПЛОСКОСТЬ (круг). В $S = \pi r^2$ берётся квадрат радиуса: сначала $r^2 = r \cdot r$, потом умножить на $\pi$.

Разбор

Разбор примера

Колесо велосипеда

Колесо велосипеда имеет радиус 35 см. Найдите длину обода колеса и площадь круга колеса. Используйте $\pi \approx 3{,}14$.

Ключевой шаг Длина обода (окружности): $C = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 35 = 219{,}8$ см.
Площадь круга: $S = 3{,}14 \cdot 35^2 = 3{,}14 \cdot 1225 = 3846{,}5$ кв. см.

Ответ $C \approx 219{,}8$ см; $S \approx 3846{,}5$ кв. см

Шар

Определение

Что такое шар

Шар — это объёмное тело: все его точки находятся на одинаковом расстоянии (радиусе) от центра. Примеры: глобус, мяч, апельсин. Если разрезать шар плоскостью точно через центр, в разрезе получится круг с тем же радиусом $r$.

Запомни

Окружность vs шар

Окружность и круг — плоские (2D). Шар — объёмный (3D). Радиус шара — расстояние от центра до поверхности.

Проверь себя

Упражнения

Диаметр через радиус лёгкое

Радиус окружности равен 7 см. Чему равен диаметр?

Длина окружности лёгкое

Найдите длину окружности с радиусом 5 см. Используйте $\pi \approx 3{,}14$.

Формула площади круга лёгкое

Как вычислить площадь круга с радиусом $r$?

Площадь круга среднее

Найдите площадь круга с радиусом 3 см. Используйте $\pi \approx 3{,}14$.

Длина через диаметр среднее

Диаметр окружности равен 10 см. Найдите её длину ($\pi \approx 3{,}14$).

Радиус по длине среднее

Длина окружности равна 62,8 см. Найдите радиус ($\pi \approx 3{,}14$).

Шар и его сечение сложное

Что получится в разрезе, если разрезать шар плоскостью точно через центр?